Question

1．已知等比数列{a_n}中a₁=2，公比q满足lg3•log₃q=lg2．
（1）试写出这个数列的通项公式；
（2）若b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算性质，求得q，根据等比数列通项公式，即可求得数列{a_n}通项公式；
（2）根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由lg3•log₃q=lg3×$\frac{lgq}{lg3}$=lgq=lg2．
则q=2，
则a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴数列{a_n}通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由b_n=a_n+n=2ⁿ+n，
S_n=（2¹+1）+（2²+2）+（2²+3）+…+（2ⁿ+n），
=2¹+2²+2³+…+2ⁿ+1+2+3+…+n，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$，
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$-2．

点评 本题考查等比数列的性质，等比数列及等差数列的前n项和，考查计算能力，属于基础题．