Question

2．如果双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线与抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$相切，则C的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求双曲线的渐近线，再利用条件渐近线与抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$相切得方程只有一解，运用判别式为0，从而得出a，b的关系，进而求出离心率．

解答 解：双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线为y=±$\frac{a}{b}$x，
所以其中一条渐近线可以为y=$\frac{a}{b}$x，
又因为渐近线与抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$只有一个交点，
所以$\frac{a}{b}$x=x²+$\frac{1}{4}$只有一个解，
所以（$\frac{a}{b}$）²-4×$\frac{1}{4}$=0 即（$\frac{a}{b}$）²=1，即a²=b²，
c²=a²+b²，所以c²=2a²，
所以离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线与抛物线相切转化为方程联立得到一元二次方程的△=0，即可得出a、b的关系式，是解题的关键，考查双曲线的离心率的计算公式e=$\frac{c}{a}$，属于基础题．