Question

5．在等差数列{a_n}中，a₉=-36，a₁₆+a₁₇+a₁₈=-36，其前n项和为S_n．
（1）求S_n的最小值；
（2）求出S_n＜0时n的最大值；
（3）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系求出首项和公差，结合等差数列前n项和公式的公式即可求S_n的最小值；
（2）解不等式S_n＜0，即可求n的最大值；
（3）讨论a_n的符号，结合等差数列前n项和的公式即可求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵a₁₆+a₁₇+a₁₈=3a₁₇=-36，∴a₁₇=-12，
∴$d=\frac{{{a_{17}}-{a_9}}}{17-9}=\frac{24}{8}=3$，
∴a₉=a₁+8×3=-36，解得a₁=-60，
∴${S_n}=-60n+\frac{n（n-1）}{2}×3=\frac{3}{2}（{n^2}-41n）=\frac{3}{2}{（n-\frac{41}{2}）^2}-\frac{5043}{8}$，
∴当n=20或n=21时，S_n取最小值-630．
（2）∵${S_n}=\frac{3}{2}（{n^2}-41n）＜0$
∴n＜41
∴n的最大值为40．
（3）∵a₁=-60，d=3，
∴a_n=-60+（n-1）×3=3n-63，
由a_n=3n-63≥0，得n≥21，
∵a₂₀=3×20-63=-3＜0，a₂₁=3×21-63=0，
∴数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，
当n≤21时，${T_n}=-{S_n}=-\frac{n（-60+3n-63）}{2}=-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{123}{2}n$．
当n＞21时，${T_n}={S_n}-2{S_{21}}=-\frac{n（-60+3n-63）}{2}-2{S_{21}}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{123}{2}n+1260$．
综上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{123}{2}n，\;\;\;\;（n≤21．n∈{N^*}）\\ \frac{3}{2}{n^2}-\frac{123}{2}n+1260，（n＞21，n∈{N^*}）\end{array}\right.$

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的计算，根据方程组首先求出首项和公差是解决本题的关键．