Question

14．已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足bcosC+$\frac{1}{2}$c=a．
（1）求△ABC的内角B的大小；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和三角形内角和定理化简可得答案．
（2）根据△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{1}{2}$acsinB建立关系，结合余弦定理，即可判断．

解答 解：（1）∵bcosC+$\frac{1}{2}$c=a．
由正弦定理，可得sinBcosC$+\frac{1}{2}$sinC=sinA．
∵sinA=sin（B+C）．
∴sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinBcosC+sinCcosB
∵0＜C＜π，sinC≠0．
∴cosB=$\frac{1}{2}$．
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{1}{2}$acsinB，
可得：b²=ac．
由余弦定理：cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
得：a²+c²-2ac=0，即（a-c）²=0．
∴a=c．
故得△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查△ABC的面积的运用来判断三角形，以及正余弦定理的合理运用．属于基础题．