Question

9．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，由满足：a₇=a₆+2a₅，可得q²=q+2，解得q=2．根据存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，可得$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=4a₁，m+n=6．对m，n分类讨论即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵满足：a₇=a₆+2a₅，∴q²=q+2，解得q=2．
∵存在两项a_m、a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=4a₁，∴m+n=6．
m，n的取值分别为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．
则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{1}{2}+\frac{4}{4}$=$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．