Question

19．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量$\overrightarrow m=（b-c，c-a）$，$\overrightarrow n=（b，c+a）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，b和c的等差中项为$\frac{1}{2}$，则△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{16}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为$\frac{1}{2}$，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA，利用基本不等式可得最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow m=（b-c，c-a）$，$\overrightarrow n=（b，c+a）$，
∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
∴b（b-c）+（c-a）（c+a）=0．
得：b²-bc=-c²+a²．即-a²+b²+c²=bc
由余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA
可是：bc=2bccosA．
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$
又b和c的等差中项为$\frac{1}{2}$，根据等差中项性质，
可得b+c=1．
∴b+c$≥2\sqrt{bc}$，（当且仅当b=c时取等号）
可得：bc≤$\frac{1}{4}$．
则△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查了向量垂直的运算，余弦定理的运算，等差中项性质以及不等式的运用．属于中档题．