Question

15．在△ABC中，$AB=AC=1，\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}，\overrightarrow{CM•}\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{4}$，则∠ABC=（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用已知条件求出∠BAC=$\frac{π}{2}$，可得∠ABC=$\frac{π}{4}$．

解答 解：如图，

∵$AB=AC=1，\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}，\overrightarrow{CM•}\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AN}=（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}）•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
=$\frac{1}{4}-\frac{1}{4}cos∠BAC-\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{4}$，解得cos∠BAC=0，
则∠BAC=$\frac{π}{2}$，
∴∠ABC=$\frac{π}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．