Question

16．已知直线l₁：ax-y+1=0，l₂：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（-1，0），给出如下结论：
①不论a为何值时，l₁与l₂都互相垂直；
②当a变化时，l₁与l₂分别经过定点A（0，1）和B（-1，0）；
③不论a为何值时，l₁与l₂都关于直线x+y=0对称；
④如果l₁与l₂交于点M，则|MA|•|MB|的最大值是1．
其中，所有正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①对a分类讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出；
②当a变化时，代入验证即可判断出正误；
③由①可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，即可判断出正误；
④如果l₁与l₂交于点M，由③可知：|MA|²+|MB|²=2，利用基本不等式的性质即可判断出正误．

解答 解：直线l₁：ax-y+1=0，l₂：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（-1，0），给出如下结论：
①a=0时，两条直线分别化为：y=-1，x=-1，此时两条直线互相垂直；a≠0时，两条直线斜率分别为：a，-$\frac{1}{a}$，满足$a×（-\frac{1}{a}）$=-1，此时两条直线互相垂直；因此不论a为何值时，l₁与l₂都互相垂直，正确；
②当a变化时，代入验证可得：l₁与l₂分别经过定点A（0，1）和B（-1，0），正确；
③由①可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，因此l₁与l₂关于直线x+y=0不一定对称，不正确；
④如果l₁与l₂交于点M，由③可知：|MA|²+|MB|²=2，∴2≥2|MA|•|MB|，∴|MA|•|MB|的最大值是1，正确．
其中，所有正确结论的个数是3．
故选：C．

点评 本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、圆的性质、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．