Question

20．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．已知$a=2\sqrt{3}$，$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）当b=2时，求c；
（Ⅱ）求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得c²-2c-8=0，由此能求出c．
（Ⅱ）法一由正弦定理得b=4sinB，c=4sinC，从而b+c=4（sinB+sinC）=4$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），由$A=\frac{π}{3}$，能求出b+c的取值范围．
法二：由余弦定理得$12={b^2}+{c^2}-2bc•cos\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc$≥{（b+c）^2}-3×{（\frac{b+c}{2}）^2}$，由此能求出b+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$a=2\sqrt{3}$，$A=\frac{π}{3}$，b=2，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得c²-2c-8=0…．（4分）
即（c-4）（c+2）=0． 又c＞0，
故取c=4． …．（7分）
（Ⅱ）（方法一）由正弦定理得$b=\frac{a}{sinA}•sinB=4sinB$，
同理c=4sinC．    …．（9分）
b+c=4（sinB+sinC）=$4[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]$=$4（sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$=$4\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$．     …．（12分）
由$A=\frac{π}{3}$知，$0＜B＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$．
得$\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1$．
所以$2\sqrt{3}＜b+c≤4\sqrt{3}$，
即b+c的取值范围是$（2\sqrt{3，}4\sqrt{3}]$…．（15分）
（方法二）由余弦定理得$12={b^2}+{c^2}-2bc•cos\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc$≥{（b+c）^2}-3×{（\frac{b+c}{2}）^2}$…．（10分）
解得$b+c≤4\sqrt{3}$．
又$b+c＞a=2\sqrt{3}$．
所以b+c的取值范围是$（2\sqrt{3}，4\sqrt{3}]$．      …．（15分）

点评 本题考查三角形边长、两边和取值范围、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．