Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与最低点，R是图象与x轴的交点，若P点的横坐标为$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\sqrt{3}$，PR⊥QR，则函数f（x）的解析式可以是（　　）

• A． $f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$
• B． $f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}x-\frac{π}{6}）$
• C． $f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}x+\frac{5π}{18}）$
• D． $f（x）=\sqrt{3}sin（πx+\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 由已知可得A=$\sqrt{3}$，设其周期为T，则：P（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{3}$），R（$\frac{1}{3}+$$\frac{3T}{4}$，0），Q（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$T，-$\sqrt{3}$），由两点间距离公式，勾股定理可求T，利用周期公式可求ω，由f（$\frac{1}{3}$）=$\sqrt{3}$，可得φ，即可得解函数解析式．

解答 解：由已知可得A=$\sqrt{3}$，
设其周期为T，则：P（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{3}$），R（$\frac{1}{3}+$$\frac{3T}{4}$，0），Q（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$T，-$\sqrt{3}$），
由于PR⊥QR，可得：PR²+RQ²=PQ²，
可得：（$\frac{1}{3}+$$\frac{3T}{4}$-$\frac{1}{3}$）²+（0-$\sqrt{3}$）²+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$T-$\frac{1}{3}$-$\frac{3T}{4}$）²+（-$\sqrt{3}$-0）²=（$\frac{1}{3}+$$\frac{1}{2}T$-$\frac{1}{3}$）²+（-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$）²，
整理可得：T²=16，解得：T=4，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{2}$，
由于f（$\frac{1}{3}$）=$\sqrt{3}$，可得：$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$×$\frac{1}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，
所以，φ+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以，当k=0时，φ=$\frac{π}{3}$，函数f（x）的解析式是f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
故选：A．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了勾股定理及正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．