Question

10．已知梯形ABCD，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=3．
（1）用向量$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$表示向量$\overrightarrow{BD}$；
（2）若AD⊥AB，求向量$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的加减法的几何意义，可得用向量$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$表示向量$\overrightarrow{BD}$的解析式．
（2）建立坐标系，根据两个向量坐标形式的运算，以及两个向量的数量积的定义，求得cos＜$\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$的值．

解答 解：（1）∵梯形ABCD，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=3，∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}）+\overrightarrow{AD}$，
∴$\frac{\overrightarrow{BD}}{3}$=-$\frac{2}{3}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{AD}$-2$\overrightarrow{BC}$．
（2）以D点为原点，以DC所在直线为x轴，以DA所在直线为y轴，建立直角坐标系，
则D（0，0），A（0，2），C（3，0），B（2，2），
∴$\overrightarrow{AC}$=（3，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2），$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-6+4=-2，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{13}•2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{26}}{6}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的几何意义，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．