Question

2．已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-ln（{x+1}）+f（{x+2}）$满足：对任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数$f'（x）=\frac{1}{x-1}-k$，通过当k≤0时，当k＞0时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-kx-k+1x∈[{0，1}]$，通过对任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立，转化为：当x∈[0，1]，有g_max（x）-g_min（x）≤1成立，求出g'（x）=x²-k，通过当k≤0时，当k＞0时，求解函数的最值，通过g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（\sqrt{k}）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，令$h（k）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，$k∈（{0，\frac{1}{3}}）$，
则$h'（k）={k^{\frac{1}{2}}}-1＜0$，利用h（k）在$（{0，\frac{1}{3}}）$为减函数，求解即可．

解答 解：（1）∵ln（x-1）-k（x-1）+1（x＞1），∴$f'（x）=\frac{1}{x-1}-k$，
当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，
当k＞0时，令f'（x）=0，得$x=\frac{k+1}{k}＞1$
当f'（x）＜0，即$1＜x＜\frac{k+1}{k}$时，函数为减函数，
当f'（x）＞0，即$x＞\frac{k+1}{k}$时，函数为增函数，
综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，
当k＞0时，函数f（x）在$（1，\frac{k+1}{k}）$为减函数，在$（\frac{k+1}{k}，+∞）$为增函数．
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-kx-k+1x∈[{0，1}]$，
因为对任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立
所以当x∈[0，1]，有g_max（x）-g_min（x）≤1成立g'（x）=x²-k
当k≤0时，g'（x）=x²-k≥0恒成立，g（x）在[0，1]为增函数
由g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k≤1$得$k≥-\frac{2}{3}$，所以$-\frac{2}{3}≤k≤0$
当k＞0时，由g'（x）=x²-k=0得$x=\sqrt{k}$
易知g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$为减函数，在$[{\sqrt{k}，+∞}）$为增函数
若k≥1，则g（x）在[0，1]为减函数，由g_max（x）-g_min（x）=$g（0）-g（1）=k-\frac{1}{3}≤1$
得$k≤\frac{4}{3}$，所以$1≤k≤\frac{4}{3}$
若$\frac{1}{3}≤k＜1$，则g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$为减函数，在$[{\sqrt{k}，1}]$为增函数，$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k≤0$
所以g_max（x）-g_min（x）=$g（0）-g（\sqrt{k}）=-\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，
而$\frac{1}{3}≤k＜1$时$-\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}≤1$恒成立，所以$\frac{1}{3}≤k＜1$适合题意
若$0＜k＜\frac{1}{3}$，则g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$为减函数，在$[{\sqrt{k}，1}]$为增函数，$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k＞0$
所以g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（\sqrt{k}）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，
令$h（k）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，$k∈（{0，\frac{1}{3}}）$，
则$h'（k）={k^{\frac{1}{2}}}-1＜0$，所以h（k）在$（{0，\frac{1}{3}}）$为减函数，所以$h（k）＜h（0）=\frac{1}{3}＜1$，所以$0＜k＜\frac{1}{3}$适合题意
综上所述：$-\frac{2}{3}≤k≤\frac{4}{3}$．

点评 本题考查函数的导数的应用幂函数的极值以及函数的单调性的应用，考查计算能力与转化思想的应用．