Question

13．已知圆C：x²+y²-2x-1=0，直线l：3x-4y+12=0，圆C上任意一点P到直线l的距离小于2的概率为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据几何概型，求出圆心到直线的距离，利用几何概型的概率公式分别求出对应的测度即可得到结论．

解答 解：由题意知圆的标准方程为（x-1）²+y²=2的圆心是（1，0），
圆心到直线3x-4y+12=0的距离是d=$\frac{|3+12|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{15}{5}$=3，
当与3x-4y+12=0平行，且在直线下方距离为2的平行直线为3x-4y+b=0，
则d=$\frac{|12-b|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{|b-12|}{5}$=2，则|b-12|=10，
即b=22（舍）或b=2，此时直线为3x-4y+2=0，
则此时圆心到直线3x-4y+2=0的距离d=1，即三角形ACB为直角三角形，
当P位于弧ADB时，此时P到直线l的距离小于2，
则根据几何概型的概率公式得到P=$\frac{{90}^{°}}{{360}^{°}}$=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，利用条件确定圆C上的点A到直线l的距离小于2对应区域是解决本题的关键．