Question

8．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上可导函数，其导函数为f'（x），且满足xf'（x）+2f（x）＞0，则不等式$\frac{{（{x+2017}）f（{x+2017}）}}{5}$$＜\frac{5f（5）}{x+2017}$的解集为（　　）

• A． {x|x＞-2012}
• B． {x|x＜-2012}
• C． {x|-2012＜x＜0}
• D． {x|-2017＜x＜-2012}

Answer 1

分析 构造函数g（x）=x²f（x），x＞0，求出函数的单调性，问题转化为g（x-2015）＞g（2），从而求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=x²f（x），x＞0，
则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递增，
∵不等式$\frac{{（{x+2017}）f（{x+2017}）}}{5}$$＜\frac{5f（5）}{x+2017}$，可得（x+2017）²f（x+2017）＜25f（5），
∴g（x+2017）＜g（5），
∴0＜x+2017＜5，解得：-2017＜x＜-2012，
则不等式$\frac{{（{x+2017}）f（{x+2017}）}}{5}$$＜\frac{5f（5）}{x+2017}$的解集为：{x|-2017＜x＜-2012}．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．