Question

19．利用导数的定义，求f（x）=$\sqrt{{x^2}+1}$在x=1处的导数．

Answer 1

分析 直接利用导数的定义求函数f（x）=$\sqrt{{x^2}+1}$在x=1处的导数值．

解答 解：△y=f（1+△x）-f（1）=$\sqrt{（1+△x）^{2}+1}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}$-$\sqrt{2}$，
∴$\frac{△y}{△x}$=$\frac{\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}-\sqrt{2}}{△x}$，
∴f′（1）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}-\sqrt{2}}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△{x}^{2}+2△x}{△x（\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}+\sqrt{2}）}$
=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△x+2}{\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是导数的运算，难度不大，属于基础题．