Question

14．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）求$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$的值；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积与模长公式，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，再计算$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$；
（2）根据平面向量数量积公式，求出模长|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2；
∴${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=2²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1²=2²，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
∴$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$
=2×2²-3×$\frac{1}{2}$-2×1²
=$\frac{9}{2}$；
（2）∵${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$
=2²+2×$\frac{1}{2}$+1²
=6，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了平面向量数量积与模长公式的应用问题，是综合题．