Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在一次函数图象y=4x-5上，其中n∈N^*．令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求数列{b_n}通项公式；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将点代入直线方程，求得S_n+1=4a_n+3，当n≥2时，S_n=4a_n-1+3，两式相减即可求得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），即可求得数列{b_n}是与2为公比的等比数列，由a₁=1，即可求得b₁，根据等比数列通项公式即可求得数列{b_n}通项公式；
（2）由（1）可知，利用“错位相减法”即可求得数列{nb_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵将点（a_n+2，S_n+1）代入y=4x-5，即S_n+1=4（a_n+2）-5，
∴S_n+1=4a_n+3，当n≥2时，S_n=4a_n-1+3，
∴两式相减a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）．
∴由b_n=a_n+1-2a_n，则$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=2，（n≥2）．
∴数列{b_n}是与2为公比的等比数列，首项b₁=a₂-2a₁，
而a₂+a₁=4a₁+3，且a₁=1，
∴a₂=6，
∴b₁=a₂-2a₁=4，
∴b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
数列{b_n}通项公式b_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵nb_n=n2ⁿ⁺¹，
数列{nb_n}的前n项和T_n=b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n，
=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²，②
①-②得-T_n=2²+2³+2⁴+2⁵+…+n×2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²，
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺²，
=-4（1-2ⁿ）-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²，
数列{nb_n}的前n项和T_n，T_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²．

点评 本题考查等比数列通项公式的求法，考查“错位相减法”求数列前n项和，考查计算能力，属于中档题．