Question

6．已知函数$f（x）=2cosxsin（x+\frac{π}{6}）+{cos^4}x-{sin^4}x$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}]$，求f（x）的最大值、最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用和角正弦公式，平方差公式，倍角公式化简函数的解析式，进而可得f（x）的最小正周期；
（2）由$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}]$可得相应角的范围，结合正弦函数的图象和性质，得到答案．

解答 解：（1）$f（x）=2cosx（sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}）+（{cos^2}x+{sin^2}x）（{cos^2}-{sin^2}x）$
=$\sqrt{3}cosxsinx+co{s}^{2}x+cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{3}{2}cos2x+\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}$…（4分）
∴T=π…（6分）
（2）由$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}]⇒2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$
∴$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}在x=-\frac{π}{12}即2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}时取最小值\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$…（9分）
$在x=\frac{π}{12}即2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}时取大值\sqrt{3}+\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是和角正弦公式，平方差公式，倍角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．