Question

14．在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（1）确定角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{7}$，且ab=6，求边a，b．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得$\frac{a}{c}$=$\frac{2sinA}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinA}{sinC}$，结合sinA＞0，可求sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据已知可求C=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理，ab=6，可求a²+b²=1，联立即可解得a，b的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由$\sqrt{3}$a=2csinA及正弦定理得$\frac{a}{c}$=$\frac{2sinA}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinA}{sinC}$，-------（4分）（知道用正弦定理2分）
因为sinA＞0，故sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又锐角△ABC，所以C=$\frac{π}{3}$．---------------------------------------------（6分）
（2）由余弦定理a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=7，-----------------（9分）（余弦定理2分）
ab=6，得a²+b²=1，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$．-----------------------------------（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．