Question

10．已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁=1，a₃-a₂=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{n}{2{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁=1、a₃-a₂=2及数列{a_n}的各项均为正数，可得q=2，计算即可；
（Ⅱ）通过b_n=$\frac{n}{2{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，可写出S_n、$\frac{1}{2}$S_n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
由a₁=1，a₃-a₂=2得：
q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴q=2，∴a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{n}{2{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$1×\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求前n项和等知识，考查学生的运算求解能力，考查函数与方程及化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．