Question

3．已知不等式x²-2ax+2＞0对x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 构造二次函数令f（x）=x²-2ax+2，对判别式分别讨论：当△=4a²-8＜0时，即-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$时显然成立；当△=4a²-8≥0时，根据f（0）=2＞0，只需对对称轴分别讨论即可．

解答 解：令f（x）=x²-2ax+2，
∴当△=4a²-8＜0时，即-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$时显然成立；
当△=4a²-8≥0时，即a≤-$\sqrt{2}$或a≥$\sqrt{2}$时；
∵f（0）=2＞0，对称轴为x=a，
∴当a≤-$\sqrt{2}$时恒成立；
当a≥$\sqrt{2}$时，f（2）＞0解得无解；
故a的范围为a$＜\sqrt{2}$．

点评 考查了二次函数参数的讨论问题．难点是对对二次函数图象的深刻理解和应用．