Question

18．已知两点A（4，10），B（8，6），动点P在圆C：（x-3）²+（y-2）²=5上，求|PA|²+|PB|²的最值．

Answer 1

分析 用x，y表示出|PA|²+|PB|²，根据x，y的关系消去二次项，转化为线性规划解决问题．

解答 解：设P（x，y），则（x-3）²+（y-2）²=5，
∴x²+y²-6x-4y+8=0，
∴x²+y²=6x+4y-8．
∴|PA|²+|PB|²=（x-4）²+（y-10）²+（x-8）²+（y-6）²=2x²+2y²-24x-32y+216=-12x-24y+200，
令z=-12x-24y+200，则12x+24y+z-200=0，
∴当直线12x+24y+z-200=0与圆C相切时，z取得最大值和最小值．
此时圆C的圆心到直线的距离d=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{|z-116|}{\sqrt{1{2}^{2}+2{4}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，解得z=176或z=56．
∴|PA|²+|PB|²的最大值为176，最小值为56．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，简单的线性规划问题，属于中档题．