Question

15．参考如下定义及定理，解答问题．
定义：横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点，顶点为整点的三角形叫做整点三角形．
定理：设整点三角形内部的整点数为N，边上（包括顶点）的整点数为L，则三角形的面积为S=N+$\frac{L}{2}$-1．
问题：求满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{x+y≤30}\end{array}\right.$的整点的个数．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出三角形的面积以及在三角形边上的整数点的个数，结合定理求出三角形内部的整数点的公式即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=30}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=20}\end{array}\right.$，即A（10，20），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x+y=30}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=10}\end{array}\right.$，即B（20，10）．
则当y=10时，由y=2x得x=5，即C（5，10），
则S_△OAB=S_△ABC+S_△OBC=$\frac{1}{2}×$15×10+$\frac{1}{2}×$15×10=150，
当0≤x≤10时，y=2x上有11个整数点，
当1≤x≤20时，y=$\frac{1}{2}$x上有20个整数点，
当11≤x≤19时，x+y=30上有9个整数点，
则设整点三角形内部的整点数为N，边上（包括顶点）的整点数为L，
则L=11+20+9=40，
由三角形的面积为S=N+$\frac{L}{2}$-1．得N=S+1-$\frac{L}{2}$=150+1-20=129，
即满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{x+y≤30}\end{array}\right.$的整点的个数为129+40=169个．

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域结合定义和定理的关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，考查学生的运算和推理能力．