Question

11．设函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}+x$在（t，10-t²）上有最大值，则实数t的取值范围为（　　）

• A． $（-3，-\sqrt{6}）$
• B． $（-2，-\sqrt{3}）$
• C． [-2，1）
• D． （-2，1）

Answer 1

分析 由给出的是开区间，且给的函数只有一个极大值点，可得最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，然后让极大值点落在区间（t，10-t²）内，由此构造不等式组求解．

解答 解：由$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}+x$，得f′（x）=-x²+1，
由f′（x）=0，得x=±1．
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间为（-1，1）．
∴x=1时，f（x）取得极大值，
要使函数f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+x$在（t，10-t²）上有最大值，
则$\left\{\begin{array}{l}{t＜1＜10-{t}^{2}}\\{f（t）≤f（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t＜1＜10-{t}^{2}}\\{-\frac{1}{3}{t}^{3}+t≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：-2≤t＜1．
∴实数t的取值范围为[-2，1）．
故选：C．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．