Question

2．已知函数f（x）=x³+ax²-2x在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[-$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增?f′（x）≥0恒成立，x∈[2，+∞），再分离参数即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=x³+ax²-2x在区间[2，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=3x²+2ax-2≥0，
即a≥-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$在区间[2，+∞）上恒成立，
令g（x）=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$，g′（x）=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
g（x）在[2，+∞）单调递减，
∴g（x）_max=g（2）=-$\frac{5}{2}$，
∴实数a的取值范围是[-$\frac{5}{2}$，+∞）．
故答案为：[-$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 熟练掌握函数导数与单调性的关系及其分离参数法是解题 的关键．