Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-EB-A的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，
求出AM的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据三线合一得出AO⊥AD，利用面面垂直的性质即可得出AO⊥平面ABCD；
（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBE和平面ABE的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值；
（III）假设存在符合条件的点M（1，x，0），求出平面PAD的法向量$\overrightarrow{OF}$，则|cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{OF}$＞|=$\frac{1}{2}$，解方程得出x，根据x的范围判断．

解答 解：（Ⅰ）∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取BC的中点F，
∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，
∴PO，OF，AD两两垂直．
以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则O（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），E（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{EP}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EB}$=（2，1，0），$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$）．
显然平面EBA的法向量为$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$）．
设平面PBE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{3}z=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}$=-3，|$\overrightarrow{n}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∵二面角P-EB-A为锐角，∴二面角P-EB-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面PAD所在平面成30°角，
∵平面PAD的法向量为$\overrightarrow{OF}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PM}$=（1，x，-$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{PM}$＞=$\frac{\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{PM}|}$=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$．
∴sin30°=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，符合题意．
∴在线段AB上存在点M，当线段$AM=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，PM与平面PAD所在平面成30°角．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．