Question

16．（1）已知z₁，z₂∈C，若|z₁|=5，z₂=3+4i，z₁•$\overline{z_2}$是纯虚数，求z₁
（2）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，求点D对应的复数．

Answer 1

分析 （1）设z₁=a+bi（a，b∈R），可得z₁•$\overline{z_2}$=（3a+4b）+（3b-4a）是纯虚数，于是$\left\{\begin{array}{l}{3a+4b=0}\\{3b-4a≠0}\\{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=5}\end{array}\right.$，解出a，b即可得出．
（2）设A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（x，y），利用$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，即可得出．

解答 解：（1）设z₁=a+bi（a，b∈R），∴z₁•$\overline{z_2}$=（a+bi）（3-4i）=（3a+4b）+（3b-4a）是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+4b=0}\\{3b-4a≠0}\\{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴z₁=4-3i，或-4+3i．
（2）设A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（x，y），
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，∴（2，2）=（3-x，5-y），∴$\left\{\begin{array}{l}{3-x=2}\\{5-y=2}\end{array}\right.$，解得x=1，y=3．
∴点D对应的复数为1+3i．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．