Question

【题目】已知函数，其中.

（1）当时，求证：过原点且与曲线相切的直线有且只有一条；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1) 根据导数的几何意义，求出函数上任意一点处的切线方程，根据过原点知有唯一解即可求证；

(2) 构造函数，求导后再分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出a的范围.

（1）函数的导函数为.

曲线上任意一点处的切线方程为.

此切线过原点当且仅当，即.

当，则方程有且只有一个解，

曲线在原点处的切线过原点.

综上所述，无论取什么值，过原点且与曲线相切的直线都有且只有一条，即直线.

（2）令，

则.

①若，则，故在上单调递增.

因此，当时，；

②若，则.

当时，，.

令，则.

而当时，，，于是：

若，则，故在上单调递增.

因此，当时，，进而，

故在上单调递增.

因此，当时，；

若，则存在，使得.

当时，，

，故在上单调递减.

因此，当时，，进而，

故在上单调递减.

因此，当时，.

综上所述，实数的取值范围为.