Question

定义域为R的函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），g（x）=

f(x)，x≥0 lg(-x)，x＜0

，则函数F（x）=g（x）-

1

2014

x的零点个数为（　　）

• A、1008
• B、2013
• C、2014
• D、2015

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，可画出f（x）在[0，2]的图象，再由周期性画出f（x）（x≥0）的图象，再画出lg（-x）的图象，及直线y=

1

2014

x，通过图象观察交点个数，即为函数零点个数．

解答： 解：由于函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
当x∈[0，1]时，f（x）=x，
画出f（x）在[0，2]的图象，
由于对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），
则画出f（x）（x≥0）的图象，
再画出lg（-x）的图象，
及直线y=

1

2014

x，
通过图象观察x＜0时，有一个交点，x≥0时，每个周期都有两个交点，
故共有1+2014=2015个交点．
故函数F（x）=g（x）-

1

2014

x的零点个数为2015．
故选D．

点评：本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的对称性、周期性及运用，考查函数零点问题转化为图象交点个数，属于中档题．