Question

7．如果x∈（0，π），那么$y=sinx+\frac{4}{sinx}$的最小值为5．

Answer 1

分析 设sinx=t，则y=t+$\frac{4}{t}$，t∈（0，1]，求导函数，然后根据可判定导数符号，从而得到函数在区间上的单调性，从而可求出该函数的最值．

解答 解：设sinx=t，则t∈（0，1]，
则y=t+$\frac{4}{t}$，t∈（0，1]，
则y′=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$＜0，
∴y=t+$\frac{4}{t}$在（0，1]上单调递减，
∴y_min=1+$\frac{4}{1}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值最值，如果利用基本不等式进行求解无法取得最小值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．