Question

1．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=1，F是焦点，过点A（-2，0）的直线与抛物线交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N．
（1）求抛物线的方程及y₁y₂的值；
（2）记直线PQ，MN的斜率分别为k₁，k₂，证明：$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）抛物线的顶点在原点，准线方程为x=1，可得抛物线的方程；依题意，设直线AB的方程为x=my-2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y₁y₂；
（2）设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），设直线AM的方程为x=ny-1，将其代入y²=-4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y₁y₃=-4，同理可得 y₂y₄=-4，根据斜率公式可把$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$表示成关于y₁与y₂的表达式，再借助（1）的结果即可证明．

解答 （1）解：抛物线的顶点在原点，准线方程为x=1，∴抛物线的方程为y²=-4x，
设PQ的方程为x=my-2，代入y²=-4x，可得y²+4my-8=0
∴y₁y₂=-8；
（2）证明：设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
则$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{x}_{3}-{x}_{4}}{{y}_{3}-{y}_{4}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
设直线PM的方程为x=ny-1（n≠0），将其代入y²=-4x，消去x，
整理得 y²+4ny-4=0
∴y₁y₃=-4．
 同理可得 y₂y₄=-4．            
故$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{x}_{3}-{x}_{4}}{{y}_{3}-{y}_{4}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}{y}_{2}}$．
由（1）知，y₁y₂=-8，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{2}$为定值．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．