Question

4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D与C₁D₁所成角的正弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 连结A₁D，由A₁B₁∥C₁D₁，得∠A₁DB₁是B₁D与C₁D₁所成角，由此能求出B₁D与C₁D₁所成角的正弦值．

解答 解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连结A₁D，∵A₁B₁∥C₁D₁，
∴∠A₁DB₁是B₁D与C₁D₁所成角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
${A}_{1}D=\sqrt{2}$，B₁D=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠A₁DB₁=$\frac{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+D{{B}_{1}}^{2}-{A}_{1}{D}^{2}}{2×{A}_{1}{{B}_{1}}^{\;}×{B}_{1}D}$=$\frac{1+3-2}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sin$∠{A}_{1}D{B}_{1}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴B₁D与C₁D₁所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查线线角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．