Question

14．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了其中20名学生的成绩进行分析．右图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．
（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；
（Ⅱ） 学校决定从成绩在[110，120）的学生中任选2名进行座谈，求这2人的成绩都在[110，120）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根据频率分布直方图知组距为10，从而（2a+4a+5a+7a+2a）×10=1，由此能求出图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数．
（Ⅱ） 记成绩落在[100，110）中的2人为A₁，A₂，成绩落在[110，120）中的4人为B₁，B₂，B₃，B₄，由此利用列举法能求出这2人的成绩都在[110，120）的概率．

解答 解：（Ⅰ） 根据频率分布直方图知组距为10，
由（2a+4a+5a+7a+2a）×10=1，
解得a=$\frac{1}{200}$=0.005．（2分）
所以成绩落在[100，110）中的人数为2×0.005×10×20=2，（4分）
成绩落在[110，120）中的人数为4×0.005×10×20=4．（6分）
（Ⅱ） 记成绩落在[100，110）中的2人为A₁，A₂，
成绩落在[110，120）中的4人为B₁，B₂，B₃，B₄，
则从成绩在[100，120）的学生中任选2人的基本事件共有15个：
{A₁，A₂}，{A₁，B₁}，{A₁，B₂}，{A₁，B₂}，{A₁，B₃}，{A₁，B₄}，{A₂，B₁}，{A₂，B₂}，
{A₂，B₃}，{A₂，B₄}，{B₁，B₂}，{B₁，B₃}，{B₁，B₄}，{B₂，B₃}，{B₂，B₄}，{B₃，B₄}，
其中2人的成绩都在[110，120）中的基本事件有6个：
{B₁，B₂}，{B₁，B₃}，{B₁，B₄}，{B₂，B₃}，{B₂，B₄}，{B₃，B₄}，
所以所求概率为p=$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$．（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，注意列举法的合理运用．