Question

4．已知函数h（x）=ax³-1（a∈R），g（x）=lnx．
（I）若f（x）=h（x）+3xg（x）图象过点（1，-1）时，求f（x）的单调区间；
（II）函数F（x）=$（{a-\frac{1}{3}}）{x^3}$+$\frac{1}{2}{x^2}$g（a）-h（x）-1，当a＞${e^{\frac{10}{3}}}$（e为自然对数的底数）时，函数F（x）过点A（1，m）的切线F（x）切于点B（x₀，F（x₀））
①试将m表示成x₀的表达式．
②若切线至少有2条，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出B处的切线方程，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知f（x）=h（x）+3xg（x）=ax³-1+3xlnx，
又f（x）过点（1，-1），所以a=0，
∴f（x）=3xlnx-1，且定义域为（0，+∞），
f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）=3xlnx-1在（0，$\frac{1}{e}$）上是减函数，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是增函数．…（4分）
（Ⅱ）函数F（x）=（a-$\frac{1}{3}$）x³+$\frac{1}{2}$x²g（a）-h（x）-1，
F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²lna，
①由已知切点为B（x₀，-$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$lna），
F′（x）=-x²+xlna，F′（x₀）=-${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna，
则B处的切线方程为：
y-（-$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$lna）=（-${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna）（x-x₀），将A点坐标代入得
m-（-$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$lna）=（-${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna）（1-x₀），
所以m=$\frac{2}{3}$${{x}_{0}}^{3}$-（1+$\frac{1}{2}$lna）${{x}_{0}}^{2}$+x₀lna，（*）    …（8分）
②据题意，原命题等价于关于x₀的方程（*）至少有2个不同的解．
设φ（x）=$\frac{2}{3}$x³-（1+$\frac{1}{2}$lna）x²+xlna，
φ′（x）=2x²-（2+lna）x+lna=（x-1）（2x-lna），
因为a＞${e}^{\frac{10}{3}}$，所以$\frac{1}{2}$lna＞$\frac{5}{3}$＞1，
当x∈（-∞，1）和（$\frac{1}{2}$lna，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）为增函数；
当x∈（1，$\frac{1}{2}$lna）时，φ′（x）＜0，φ（x）为减函数；
所以φ（x）的极大值为φ（1）=$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{3}$，
φ（x）的极小值为φ（$\frac{1}{2}$lna）=-$\frac{1}{24}$ln³a+$\frac{1}{4}$ln²a，
设lna=t，t＞$\frac{10}{3}$，
则原命题等价于$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}lna-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}t-\frac{1}{3}}\\{m≥-{\frac{1}{24}ln}^{3}a+{\frac{1}{4}ln}^{2}a=-{\frac{1}{24}t}^{3}+{\frac{1}{4}t}^{2}}\end{array}\right.$对t＞$\frac{10}{3}$恒成立，…（12分）
所以由m≤$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{3}$对t＞$\frac{10}{3}$恒成立，得m≤$\frac{4}{3}$；        （1）
记s（t）=-$\frac{1}{24}$t³+$\frac{1}{4}$t²，s′（t）=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{2}$t（1-$\frac{1}{4}$t），
所以t＞$\frac{10}{3}$时，s（t）的最大值为s（4）=$\frac{4}{3}$，由m≥-$\frac{1}{24}$t³+$\frac{1}{4}$t²对t＞$\frac{10}{3}$恒成立，得m≥$\frac{4}{3}$． （2）
由（1）（2）得，m=$\frac{4}{3}$．
综上，当a＞${e}^{\frac{10}{3}}$，实数m的值为$\frac{4}{3}$时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条．…（14分）

点评 本题考查了切线方程问题，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．