Question

5．已知函数f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数，且满足f[f（x）]=x+2，g（1）=-1
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析 （1）设出函数的解析式，通过待定系数法求出函数的解析式即可；
（2）求出h（x）的解析式，根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）因为f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数
∴设f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∵f[f（x）]=x+2，
∴a（ax+b）+b=x+2，
∴a²x+（a+1）b=x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{（a+1）b=2}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=1，
故f（x）=x+1；
∵g（1）=-1，故k=-1，
故g（x）=-$\frac{1}{x}$；
（2）判断：函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，
由（1）知h（x）=$x-\frac{1}{x}$+1，设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
h（x₁）-h（x₂）=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
∴函数h（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，考查定义法判断函数的单调性问题，是一道基础题．