Question

13．已知函数f（x）=x+ae^π（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x＜0，a≤1时，证明：x²+（a+1）x＞f'（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过a与0的大小讨论，导函数的符号，得到函数的单调性．
（2）令F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x），化简F（x）的表达式，令H（x）=x+a-ae^x，求出H'（x）=1-ae^x，判断H（x）在（-∞，0）上为增函数，得到H（x）＜H（0）=0，然后证明结果．

解答 解：（1）由f（x）=x+ae^x可得f'（x）=1+ae^x．
当a≥0时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
当a＜0时，f'（x）＞0可得$x＜ln（{-\frac{1}{a}}）$，由f'（x）＜0可得$x＞ln（{-\frac{1}{a}}）$；
则函数f（x）在$（{-∞，ln（{-\frac{1}{a}}）}）$上为增函数，在$（{ln（{-\frac{1}{a}}），+∞}）$上为减函数…（4分）
（2）证明：令F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x），
则F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x）=x²+ax-axe^x=x（x+a-ae^x），
令H（x）=x+a-ae^x，则H'（x）=1-ae^x，
∵x＜0，∴0＜e^x＜1，又a≤1，∴1-ae^x≥1-e^x＞0，
∴H（x）在（-∞，0）上为增函数，则H（x）＜H（0）=0，即x+a-ae^x＜0，
由x＜0可得F（x）=x（x+a-ae^x）＞0，所以x²+（a+1）x＞xf'（x）…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论以及转化思想的应用．