Question

5．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+a的最大值为2．
（1）求a的值，并求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数图象的性质解答．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=g（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

解答 解：（1）$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+a=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$
y_max=2+a+1=2⇒a=-1$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
对称轴：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$；
（2）$g（x）=f（x-\frac{π}{12}）=2sin2x$$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]⇒2x∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]⇒sin2x∈[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]⇒2sin2x∈[\sqrt{3}，2]$
函数g（x）在区间$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上的值域为：$[\sqrt{3}，2]$．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．