Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b-c=4，b+c-a=6，则$\overrightarrow{AI}$×$\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 设AD=x，BD=y，CE=z，则$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x+y=c}{y+z=a}}\\{z+x=b}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{b+c-a}{2}$=3．由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AD}$|（b-c）即可得解．

解答 解：设AD=x，BD=y，CE=z，
则$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x+y=c}{y+z=a}}\\{z+x=b}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{b+c-a}{2}$=3，
如图所示，
∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AI}•$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{AB}$　　
=|$\overrightarrow{AE}$|b-|$\overrightarrow{AD}$|c
=|$\overrightarrow{AD}$|（b-c）
=3×4
=12．
故选：C．

点评 本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质、三角形内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．