Question

7．设点P_i（x_i，y_i）在直线l_i：a_ix+b_iy=c_i上，若a_i+b_i=ic_i（i=1，2），且|P₁P₂|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$恒成立，则$\frac{c_1}{a_1}$+$\frac{a_2}{c_2}$=3．

Answer 1

分析 点P_i（x_i，y_i）在直线l_i：a_ix+b_iy=c_i上，a_i+b_i=ic_i（i=1，2），可得l₁过定点M（1，1），l₂过定点N$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，又|P₁P₂|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$恒成立，l₁∥l₂，而|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得MN⊥l_i（i=1，2）．即可得出．

解答 解：∵点P_i（x_i，y_i）在直线l_i：a_ix+b_iy=c_i上，a_i+b_i=ic_i（i=1，2），
∴l₁过定点M（1，1），l₂过定点N$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
又|P₁P₂|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$恒成立，∴l₁∥l₂，
∵|MN|=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN⊥l_i（i=1，2）．
又k_MN=1．
∴直线l₁，l₂的方程分别为：x+y=2，x+y=1．
∴$\frac{c_1}{a_1}$+$\frac{a_2}{c_2}$=2+1=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了直线经过定点问题、直线平行、两点之间的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．