Question

19．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}$=1．
（1）求角A；
（2）若a=4$\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知，整理可得：b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可得：bc≤48，可得：b+c≤8$\sqrt{3}$，结合三角形两边之和大于第三边，即可得解b+c的取值范围．

解答 解：（1）∵$\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}$=1．
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$=1，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，a=4$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bc，可得：48=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4$\sqrt{3}$时等号成立，
又∵48=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，可得：（b+c）²=48+3bc≤192，
∴可得：b+c≤8$\sqrt{3}$，
又∵b+c＞a=4$\sqrt{3}$，
∴b+c∈（4$\sqrt{3}$，8$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．