Question

9．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+x•f'（x）＞0（f'（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x²-1）＜f（x+1）的解集为（　　）

• A． （-1，2）
• B． （1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+x•f'（x），
∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）为增函数，
则不等式（x-1）f（x²-1）＜f（x+1）等价为（x-1）（x+1）f（x²-1）＜（x+1）f（x+1），
即（x²-1）f（x²-1）＜（x+1）f（x+1），
即g（x²-1）＜g（x+1），
∵g（x）在（0，+∞）为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＞0}\\{x+1＞0}\\{{x}^{2}-1＜x+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1或x＜-1}\\{x＞-1}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，即1＜x＜2，
故不等式的解集为（1，2），
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．