Question

17．已知函数f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a∈R，设P：当$0≤x≤\frac{3}{4}$时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，Q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数，如果记使P成立的实数a的取值的集合为A，使Q成立的实数a的取值的集合为B，求A∩∁_RB．

Answer 1

分析 （1）令x=-1，y=1，利用f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），结合f（0）=-2，可求f（x）的解析式；
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x²+x-2+3＜2x+a，即x²-x+1＜a，从而可得A，根据g（x）在[-2，2]上是单调函数，可求B，从而可求A∩C_RB．

解答 解：（1）∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），f（1）=0，取x=-1，y=1得f（0）-f（1）=-（-1+2+1），f（0）=-2
（2）取y=0，得f（x）-f（0）=x（x+1），故f（x）=x²+x-2
（3）（i）当$0≤x≤\frac{3}{4}$时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，即x²-x+1＜a恒成立
记h（x）=x²-x+1，对称轴$x=\frac{1}{2}$，h（x）_max=h（0）=1，
所以a＞1，即A=（1，+∞）
（ii）g（x）=x²+（1-a）x-2，对称轴：$x=\frac{a-1}{2}$，
由于x∈[-2，2]时，g（x）是单调函数，所以$\frac{a-1}{2}≤-2，或\frac{a-1}{2}≥2，解得a≤-3，或a≥5$
即A=（-∞，-3]∪[5，+∞），所以C_RB=（-3，5），A∩C_RB=（1，5）

点评 本题以抽象函数为载体，考查赋值法的运用，考查恒成立问题．属于中档题．