Question

2．设f（x）是定义在（-1，+∞）内的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y）若f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2
求：
（1）f（9）的值，
（2）求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（3）=1，函数满足f（xy）=f（x）+f（y），赋值法求解即可．
（2）将f（3）=1转化为f（9），根据定义域和单调性转化为不等式求解．

解答 解：（1）f（x）是定义在（-1，+∞）内的增函数，f（3）=1，函数满足f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=3，f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2．
即f（9）=2．
（2）由（1）可得f（9）=2，
则f（a）＞f（a-1）+2转化为f（a）＞f（a-1）+f（9），
∴f（a）＞f（9a-9），
又∵f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a-1＞-1}\\{a＞9a-9}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＞0}\\{a＜\frac{9}{8}}\end{array}}\right.$，
∴$0＜a＜\frac{9}{8}$．
故得a的取值范围是（0，$\frac{9}{8}$）．

点评 本题考查了抽象函数的赋值法求解函数值，利用函数的单调性求解不等式问题．属于中档题．