Question

14．如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，
（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点H，推导出BH⊥AC，EF⊥AC，DE⊥BC，AB⊥DE，DE⊥AC．由此能证明AC⊥平面DEF．
（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AC的中点H，
∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
而E为BC的中点，∴EF∥BH．∴EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．
∵AC?平面ABC，∴DE⊥AC．
而DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
解：（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，
建立空间直角系，设AB=BC=2，
则E（0，0，0），C（1，0，0），A（-1，2，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
B（-1，0，0），D（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{ED}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
设平面EFP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{AB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，-2，$\sqrt{3}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=a-2b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{2}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．