Question

4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，
（1）求抛物线的方程．
（2）过点P（-4，1）作直线l交抛物线与A，B两点，使弦AB恰好被P点平分，求直线l的方程．

Answer 1

分析 根据题意可设抛物线的方程为：y²=-2px，利用抛物线的定义求得p的值，得到抛物线的方程；
（2）由题意可设AB的方程为x=my-4-m，代入抛物线的标准方程为y²=-8x，由y₁+y₂=-8m=2，求得m的值，从而得到AB的方程．

解答 解：（1）由题意可设抛物线方程：y²=-2px，
焦点坐标为（-$\frac{p}{2}$，0），准线为：x=$\frac{p}{2}$，
∵抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离是5．
由抛物线的定义可得，$\frac{p}{2}$+3=5，
解得p=4，
即有抛物线方程为y²=-8x；
（2）由题意可设AB的方程为x=my-4-m，代入抛物线的标准方程为y²=-8x，
可得y²+8my-32-8m=0，∴y₁+y₂=-8m=2，∴m=-$\frac{1}{4}$，∴AB的方程为4x+y+15=0．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，线段的中点公式的应用，得到y₁+y₂=-8m=2，是解题的关键．