Question

11．已知函数f（x）=x-2sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的最值；
（Ⅱ）若存在$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值；
（2）不等式整理得出2sinx-（1-a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可．

解答 （本大题满分12分）
（1）f'（x）=1-2cosx，$f'（x）=0⇒x=±\frac{π}{3}$…（2分）

x	$-\frac{π}{2}$	$（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}）$	$-\frac{π}{3}$	$（-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}）$	$\frac{π}{3}$	$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$	$\frac{π}{2}$
y'		+	0	-	0	+
y	$2-\frac{π}{2}$	↗	极大值	↘	极小值	↗	$\frac{π}{2}-2$

$f{（x）_{max}}=f（-\frac{π}{3}）=\frac{π}{3}-\sqrt{3}，f{（x）_{min}}=f（\frac{π}{3}）=\sqrt{3}-\frac{π}{3}$…（6分）
（2）f（x）＜ax，
∴2sinx-（1-a）x＞0
设g（x）=2sinx-（1-a）x，则g'（x）=2cosx-（1-a）…（7分）
由$0＜x＜\frac{π}{2}⇒2cosx∈（0，2）$
①1-a≥2即a≤-1，此时g'（x）＜0得出g（x）在$（0，\frac{π}{2}）$单调递减，g（x）＜g（0）=0不成立…（8分）
②1-a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在$（0，\frac{π}{2}）$单调递增，g（x）＞g（0）=0成立…（9分）
③0＜1-a＜2即-1＜a＜1，令$g'（x）=0?cosx=\frac{1-a}{2}$，存在唯一${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使得$cos{x_0}=\frac{1-a}{2}$．当x∈（0，x₀）时，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，
∴存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，有g（x）＞0成立…（11分）
综上可知：a＞-1…（12分）

点评 考查了导函数求闭区间函数的最值和存在问题的转化思想．