Question

1．对于函数f（x）=ax²+2x-2a，若方程f（x）=0有相异的两根x₁，x₂
（1）若a＞0，且x₁＜1＜x₂，求a的取值范围；
（2）若x₁-1，x₂-1同号，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；
（2）根据x₁-1，x₂-1同号得出（x₁-1）（x₂-1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=ax²+2x-2a，若方程f（x）=0有相异的两根x₁，x₂；
（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x₁＜1＜x₂，
∴f（1）=a+2-2a＜0，
解得a＞2，
∴a的取值范围是a＞2；
（2）若x₁-1，x₂-1同号，则（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1＞0；
又x₁x₂=-2，x₁+x₂=-$\frac{2}{a}$，
∴-2-（$\frac{2}{a}$）+1＞0，
解得0＜a＜2；
又△=4-4a×（-2a）＞0，
解得a∈R；
综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．

点评 本题考查了一元二次方程与对应二次函数f（x）的图象与性质的应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，是综合性题目．