Question

10．已知f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），则f（x）的值域为[0，$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$]．

Answer 1

分析 利用导函研究函数的单调性，通过单调性求解值域．

解答 解：f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），
那么：f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$．
当$0≤x＜\frac{π}{3}$时，f′（x）＞0，则f（x）是单调递增，
当$\frac{π}{3}＜x≤\frac{π}{2}$时，f′（x）＜0，则f（x）是单调递减，
故得f（$\frac{π}{3}$）_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}$，
∵f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=1$-\frac{π}{4}$
∴f（x）的值域为[0，$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$]．
故答案为[0，$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．