Question

18．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为$\frac{3}{2}$，其中A（a，0），B（0，-b）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若B₁是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B₁M⊥B₁N时，直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，离心率为e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，由点（0，0）到直线bx-ay-ab=0的距离公式：d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，a²+b²=c²，即可求得a和b的值，求得双曲线的方程；
（2）由题意设直线MN的方程为：y=kx-3，代入双曲线方程，由△＞0，求得k的取值范围，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6k}{3-{k}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{18}{3-{k}^{2}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（x₁，y₁-3），$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=（x₂，y₂-3），由B₁M⊥B₁N，则$\overrightarrow{{B}_{1}M}$•$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=0，由向量数量积的坐标表示即可求得k的值，求得直线MN的方程．

解答 解：（1）由题意可知：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦点在x轴上，
离心率为e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
由A（a，0），B（0，-b），
∴直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，
由点到直线的距离公式可知：d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
由a²+b²=c²，
代入解得：a=$\sqrt{3}$，b=3，c=2$\sqrt{3}$，
∴双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由（1）可知：B₁（0，3），B（0，-3）．
直线MN的斜率显然存在，设MN的方程为：y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3-k²）x²+6kx-18=0，
△=36k²-4（-18）（3-k²）=-k²+6＞0，
解得：-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6k}{3-{k}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{18}{3-{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=k²x₁•x₂-3k（x₁+x₂）+9，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6，
∵$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（x₁，y₁-3），$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=（x₂，y₂-3）
由B₁M⊥B₁N，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$•$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=0，
∴x₁•x₂+（y₁-3）（y₂-3）=0，
x₁•x₂+y₁•y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴（1+k²）x₁•x₂-6k（x₁+x₂）+36=0，
将x₁+x₂=$\frac{6k}{3-{k}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{18}{3-{k}^{2}}$，代入整理得：k²=5，
解得：k=±$\sqrt{5}$，满足-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，
∴直线MN的方程为：y=$\sqrt{5}$x-3或y=-$\sqrt{5}$-3．

点评 本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．