Question

3．已知函数f（x）=3^x-3^ax+b且$f（1）=\frac{8}{3}$，$f（2）=\frac{80}{9}$．
（1）求a，b的值；        
 （2）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）由条件利用待定系数法求得a、b的值，可得函数的解析式．
（2）根据的定义域为R，关于原点对称，再根据f（-x）=-f（x），从而得出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3^x-3^ax+b，$f（1）=\frac{8}{3}$，$f（2）=\frac{80}{9}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{1}{-3}^{a+b}=\frac{8}{3}}\\{{3}^{2}{-3}^{2a+b}=\frac{80}{9}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{a+b}=\frac{1}{3}}\\{{3}^{2a+b}=\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{2a+b=-2}\end{array}\right.$，∴a=-1，b=0．
  （2）由（1）可得f（x）=3^x-3^-x，它的定义域为R，关于原点对称，
再根据f（-x）=3^-x-3^x=-f（3^x-3^-x）=-f（x），故该函数为奇函数．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的奇偶性的判定，属于基础题．